已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于1/4

由均值不等式a(1-a)<=(a+1-a)^2/4=1/4
同理b(1-b)<=1/4
c(1-c)<=1/4
三式相乘得a(1-a)*b(1-b)*c(1-c)<=(1/4)^3①
若(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于1/4,则
(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a=a(1-a)*b(1-b)*c(1-c)>(1/4)^3，与①矛盾。
故命题成立。

此种题目常用反证法求解:
假设能同时大于1/4,即：
(1-a)b>1/4,(1-b)c>1/4,(1-c)a>1/4,
则：(1-a)b+(1-b)c+(1-c)a=b+c+a-ab-bc-ac=
2(b+c+a-ab-bc-ac)/2>=(2bc+2ac+2ab-2ab-2bc-2ac)/2>=0,与假设矛盾,所以不能同时大于1/4.